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Der Alltag

Auf weiten Wanderungen zeichnet das GPS-Gerät natürlich die Wegspur auf, man will ja wissen, wo man überall herum gelaufen ist und sich die Wan­de­rung auch noch ein­mal auf der Land­kar­te an­schau­en.

Und? Die aufgezeichneten Daten wei­sen häß­li­che Aus­reißer auf, die die Tou­ren­da­ten ver­fäl­schen – die Empfangsqualität der GPS-Sig­na­le ist halt nicht im­mer und über­all gleich gut. Ich als Wan­de­rer weiß aber, dass ich von einer Sekunde auf die andere nicht 200 Me­ter wei­ter weg sein kann. Dum­mes Ge­rät!

Die Lösung? Man könnte etwa aus der augenblicklichen Wan­der­ge­schwin­dig­keit den näch­sten Stand­ort vorausberechnen und diesen Wert mit der feh­ler­be­haf­te­ten Po­si­tion kor­re­lie­ren, die aus den GPS-Da­ten er­mit­telt wird.

Ganz einfach? 'Tracking'-Algorithmen bei Ra­dar-Sys­tem ar­bei­ten mit so­ge­nann­ten Kal­man-Fil­tern. Und die woll­te ich aus­pro­bie­ren!

Die Referenz

Ich hielt mich dabei an ei­nem skiz­zier­ten Bei­spiel (Pro­blem 5.2) in dem Buch:

Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang
Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering
John Wiley & Sons, Inc, 1997

Die Bewegungsgleichung

Ausgangspunkt der Betrachtung ist die ein­di­men­sio­na­le Be­we­gungs­glei­chung, ein­di­men­sio­nal, der Ein­fach­heit hal­ber

Die Zufallsfunktion u(t) stimuliert den Be­we­gungs­abl­auf mit 'Wei­ßem Rau­schen'. Un­ter Wei­ßem Rauschen ver­steht man ei­nen sta­tio­nä­ren Zu­falls­pro­zess, der ei­ne konstante spek­tra­le Dich­te­funk­tion auf­weist. Die Au­to­kor­re­la­tions­funk­tion R_u für u(t) ist ge­ge­ben durch

mit dem Er­war­tungs­wert E und der Di­rac­schen Del­ta-Funk­tion, w ist ei­ne Kon­stan­te, die an­ge­passt wer­den muss.

Die Bewegungsgleichung

Die Autokorrelationsfunktion hängt nur von der Zeit­dif­fe­rnz τ ab, der durch u(t) be­schrie­be­ne Zu­falls­pro­zess ist da­mit sta­tio­när.

Die spektrale Dichtefunktion S_u(iω) ist die Fou­rier-Trans­for­mier­te der Au­to­kor­re­la­tions­funk­tion

Das zeit-diskrete Modell

Das zeit-diskrete Mo­dell wird durch die bei­den Glei­chun­gen de­fi­niert

wobei die Größen die fol­gen­de Be­deu­tung ha­ben

Das zeit-diskrete Modell

Die Kovarianz-Matrizen für wk und vk sind:

Mit Worten: Die Größen w_k und v_k sind je­weils für sich zeit­lich un­kor­re­liert. Und es gibt kei­ne Kreuz-Kor­re­la­tio­nen zwi­schen den Größen w_k und v_k.

Die zeit-diskrete Matrix-Gleichung

Die Dif­fe­ren­ti­al­glei­chung drit­ter Ord­nung wird überführt in drei Dif­fe­ren­ti­al­glei­chun­gen ers­ter Ord­nung
Das lässt sich wie folgt in Ma­tri­zen­form schrei­ben

Die zeit-diskrete Matrix-Gleichung

Hieraus erhält man die dis­kre­ti­sier­te Zu­stands-Über­füh­rungs­ma­trix Φk mit­tels der Glei­chung
wobei der inverse La­pla­ce-Ope­ra­tor zum Zu­ge kommt. Das Er­geb­nis sieht in zwei Schrit­ten wie folgt aus:

Die zeit-diskrete Matrix-Gleichung

Anstatt die Ko­va­ri­anz-Ma­trix Qk über ih­re De­fi­ni­tion

abzuleiten, folge ich den Ausführungen im ge­nann­ten Buch und ge­he von dem fol­gen­den Block­dia­gramm aus

'PDS' steht für 'Power Spctral Density'. Dem Dia­gramm kön­nen wir di­rekt die Trans­fer-Funk­tio­nen ent­neh­men,

Die zeit-diskrete Matrix-Gleichung

G1 ist etwa die Trans­fer-Funk­tion von u nach x1
Die zu einer Trans­fer-Funk­tio­nen G(s) kor­re­spo­ndie­ren­den Ge­wichts­funk­ti­on g(t) ist de­fi­niert durch
Man erhält dann
Mit diesen Funk­tio­nen be­rech­net man dann die Kom­po­nen­ten der Ko­va­ri­anz-Ma­trix ent­spre­chend der For­mel

Ein Matrix-Element sei ex­pli­zit be­rech­net
Die Kovarianz-Ma­trix Qk sieht dann am En­de wie folgt aus

Hiermit sind alle Größen versamment, um den 'Kal­man-Fil­ter' füt­tern zu kön­nen.

Der diskrete Kalman-Filter

Die Matrizen-Gleichungen zum Kal­man-Fi­lter ha­be ich dem ge­nan­nten Buch ent­nom­men und sie Eins zu Eins in die Skript­spra­che der Wis­sen­schafts­werk­bank Sci­Lab über­neh­men kön­nen.

Der diskrete Kalman-Filter

Die Matrizen-Gleichungen zum Kalman-Filter ha­be ich dem ge­nan­nten Buch ent­nom­men und sie Eins zu Eins in die Skript­spra­che der Wis­sen­schafts­werk­bank Sci­Lab über­neh­men kön­nen.

Die Simulation

Den Formalismus in allen Ehren, man möch­te na­tür­lich aber auch et­was vor Au­gen ha­ben und auch ein we­nig herum­spie­len. So ha­be ich die Mes­sun­gen simuliert und einige Aus­rei­ßer spen­diert. Ge­nau­eres kann man dem bei­ge­füg­ten Sci­Lab-Co­de ent­nehmen.

Hier nun einige Ergebnisse.

Man sieht, der 'Filter' muss sich anfänglich noch einschwingen, dann wer­den Aus­rei­ßer brav aus­ge­mit­telt.

Hier eine Messreihe mit größeren Schwan­kun­gen, der 'Fil­ter' wirkt wie­der aus­glei­chend.

Halten die Ausreißer ei­ni­ge Zeit an, folgt der 'Fil­ter'.