|
Die Schwarzschild-Lösung
|
|
|
Die Minkowsky-Raumzeit
Länge und Eigenzeit auf Weltlinien
Eine Weltlinie ist eine Kurve mit einem beliebigen reellen Parameter σ in der Minkowsky-Raumzeit (M, η): |
|
Der Tangentenvektor an der Kurve ist: |
|
Der Tangentenvektor ist normiert mit κ=1 für zeitartige, mit κ=0 für lichtartige und mit κ= -1 für raumartige Kurven. |
|
Die Länge einer raumartigen Kurve ist: Sie ist unabhängig von der Parametrisierung. |
|
Wählt man einen neuen Parameter mit einer differenzierbaren und umkehrbaren Funktion f, so bleibt die Länge gleich. |
|
Die Eigenzeit für eine zeitartige Kurve ist definiert durch: |
|
Durch Differentiation nach der oberen Grenze erhält man: |
|
Aus folgt sofort: |
|
Man kann auch gleich die Eigenzeit als Kurvenparameter wählen: |
|
Killing-Vektorfelder
Die Killing-Vektoren der Minkowsky-Raumzeit sollen in kartesischen Koordinaten bestimmt werden. |
|
Da die Komponenten der Minkowsky-Metrik Konstanten sind, verschwinden die Christoffel-Symbole alle – daher ist die Killing-Gleichung ganz einfach: |
|
Mit dem ersten Ansatz erhält man 4 Lösungen: |
|
Mit diesen vier Killing-Vektoren sind vier Erhaltungsgrößen erkannt, Energie und Impuls bleibt erhalten: |
|
Die Integralkurven x(s) zum Vektorfeld X sind diejenigen Kurven im Minkowsk-Viererraum, deren Tangentenvektor im Punkt mit den Koordinaten x(s) der Vektor X|x(s) ist. Die Bewegung verläuft daher in Richtung des Killing-Vektors - und die Geometrie ändert sich im lokalen Umfeld nicht. |
|
Die Integralkurven seien mit einem Parameter s parametrisiert, sie erfüllen die Gleichung: |
|
Und die Lösung ist: |
|
Eine Integralkurve verläuft entlang einer Koordinatenlinie, wobei die anderen Koordinaten konstant bleiben. Die Raumzeit-Translationen sind also Isometrien der Minkowsky-Welt. Man kann das Experiment also auch erst morgen oder im Nachbarraum ausführen, die Messergebnisse werden dieselben sein. |
Mit dem zweiten Ansatz erhält man 2*3 weitere Lösungen: |
|
Diese Generatoren erzeugen jeweils Rotationen um die xj-Achse. Jeder Raumzeit-Schnitt (das heißt die Hyperfläche) t=const ist also sphärisch-symmetrisch. |
|
Ausgeschrieben in Komponenten erhält man die drei Killing-Vektoren für die Rotationen: |
|
Man kann das Messvorrichtung also auch um 90 Grad drehen, die Messergebnisse werden dieselben sein. |
Und hier haben wir die Schubtransformationen ('boosts') entlang der xk-Achse. Aus Raum und Zeit wird die Raumzeit. |
|
Etwa für k=1 mit : |
|
Man erhält dann zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung: |
|
Und die Integralkurven sind mit ersichtlichen Anfangsbedingungen: Es gilt: |
|
In linearer, nicht-relativistischer Näherung δs<< 1 erhält man: |
|
Die letzte Gleichnung kann als aktive Bewegung eines Teilchens mit der Geschwindigkeit δs aufgefasst werden. Es folgt: |
|
Relativistische Kinematik
Die geodätischen Bahnen in der der Minkowsky-Raumzeit sollen in kartesischen Koordinaten bestimmt werden. |
|
Da die Komponenten der Minkowsky-Metrik Konstanten sind, verschwinden die Christoffel-Symbole alle – daher ist die geodätische Gleichung ganz einfach: |
|
Als Zwangsbedingung ist zu erfüllen: |
|
Man erhält die gleichförmigen, geradlinigen Bewegungen in der Raumzeit, parametrisiert durch noch festzulegenden Parameter. |
|
Ich betrahte nun zeitartige geodätische Kurven. Die Norm der Anfangs-Vierer-Geschwindigkeit soll auf -1 normiert sein. Zur Parametrisierung der Kurve wird die Eigenzeit längs der Kurve gewählt. |
|
Für zeitartige Pfade ist die Eigenzeit gegeben durch: |
|
Ich wähle nun die Anfangsbedingungen und ändere die Bezeichnungen:
|
|
|
|
|
|
|
|
Die Bewegung, parametrisiert mit der Eigenzeit, ist: |
|
Die Eigenzeit, beziehungsweise die zugeordnete längs der Bahn mitbewegte Uhr, läuft langsamer als die Koordinatenzeit, die etwa ein stationärer Beobachter (vx=0) erfährt. |
|
In nicht-relativistischer Näherung wird das zu: |
|
Für lichtartige Pfade verschwindet das Linienelement, es gibt es keine Eigenzeit wie für ein massives Teilchen. Das Photon und auch das Neutrino, ... |
|
||||
wenn es denn wirklich masselos ist, durchlebt keine Zeit, die Zeit steht still. Die Eigenschaft ds²=0 ist eine Invariante unter Koordinatentransformationen, die Lichtgeschwindigkeit ist daher eine universelle Konstante für alle Bezugssysteme. |
|||||
Mit einem noch festzulegenden Parameter ist geodätische Gleichung: |
|
||||
Als Zwangsbedingung ist dabei zu erfüllen: |
|
||||
Für eine Bewegung auf der x-Koordinatenlinie erhält man ausgeschrieben: |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
Die Kurve parametrisiert mit der Koordinatenzeit t ist: |
|
Zeitdilatation: Das Zwillingsparadoxon
Der eine Zwilling wartet, der andere reist. Dann treffen sie sich wieder. |
|
Beide Zwillinge sind mit Uhren ausgestattet und treffen sich im Weltpunkt (0, x1). Der eine Zwilling wartet hier, seine Weltlinie ist die blaue Gerade - der andere bewegt sich auf gerader Strecke mit der konstanten Geschwindigkeit vx auf der rötlichen Weltlinie zum Weltpunkt (0, x2) - bremst abrupt auf halbem Wege, um dann mit der Geschwindigkeit (-vx) zum abgemachten Treffpunkt (0, x3) zu eilen, wo sich beide raumzeitmäßig wieder treffen. Der wartende Zwilling erfährt die Eigenzeit:
Der andere aber bewegt sich und erfährt eine andere Eigenzeit: |
|
|
|
|
|
Der wartende Zwilling (1) ist also älter als der weitgereiste Zwilling (2). |
|
Die Situation zwischen den Zwilligen ist nicht symmetrisch, der eine wartet in einem Inertialsystem, der andere reist nicht in einem Inertialsystem, er er muss (hier abrupt) bremsen und beschleunigen! Reist der Zwilling mit 87% der Lichtgeschwindigkeit c (c=300000 km/s), so ist der Wartende bei der Heimkehr doppelt so alt wie der Heimkehrer. Dieser großartige Effekt ist im Experiment schlüssig nachgewiesen – heutzutage kann man das schon mit genau gehenden Uhren machen – die eine Uhr fliegt einmal um die Erde, die andere ruht – der gemessene Zeitunterschied entspricht der theoretischen Voraussage. Oder: Kosmische Strahlen erzeugen in der oberen Atmosphäre der Erde sehr kurzlebige, schnell fliegende Myonen, die ohne diese Zeitdilation die Erdoberfläche nicht erreichen könnten. Sie werden aber hier nachgewiesen. |
Kugelkoordinaten
Die Minkowsky-Raumzeit soll in Kugelkoordinaten beschrieben werden. Ein Punkt P hat die Koordinaten: |
|
Auf hergebrachte Art nimmt man die Koordinatenfunktionen, berechnet die Differentiale und erhält aus dem alten Linienelement das neue : |
|
'(K)' steht für kartesische Koordinaten, '(S)' steht für sphärische Koordinaten. |
|
Die nicht-verschwindenden Christoffel-Symbole sind: Die Minkowsky-Raumzeit ist flach, was in Kugelkoordinaten nicht offensichtlich ist. |
|
||||||
Die Singularität bei r=0 ist keine Eigenschaft der Minkowsky-Raumzeit, sondern ein Artefakt der Kugelkoordinaten, so wie sie hier verwendet werden. |
|
|
||
Diese Erhaltungsgröße ist sofort ersichtlich, ansonsten ist es einfacher, die schon bekannten Killing-Vektorfelder in sphärische Koordinaten zu transformieren, als das Problem noch einmal anzugehen. |
|
|
Das Newtonsche Schwerefeld in linearer Näherung
Metrischer Tensor
Der metrische Tensor wird mit einer zu bestimmenden Funktion parametrisiert, die eine kleine Störung der Minkowsky-Metrik darstellt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Christoffel-Symbole
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Krümmungstensor
|
|
Ricci-Tensor
|
|
|
|
Krümmungssalar
|
|
Einstein-Tensor
|
|
|
|
Einsteinsche Gleichung
|
|
Energie-Impuls-Tensor
Es wird die Energie-Dichtefunktion kosmischen Staubes als Quelle gewählt.
|
|
Poisson-Gleichung
|
|
Man erhält in dieser linearen Näherung die klassische Poisson-Gleichung: |
|
Für eine rotationsymmetrische Masseverteilung mit dem Radius R und der Masse M erhält man das Potential: |
|
|
Die Schwarzschild-Lösung
Der Metrischer Tensor
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Der Schwarzschild-Tensor
|
|
|
  |
Die Koordinate t wird für (r < 2 GM) raumartig (genauer der Vektor ) und die Koordinate r zeitartig. |
|
|
|
|
|
|
Die Christoffel-Symbole
Wenn die Metrik diagonal ist, gilt: Hier ist und es wird nicht summiert! |
|
|
|
|
|
  |
  |
|
|
|
|
Der Krümmungstensor
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
Der Ricci-Tensor
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Der Krümmungsskalar
|
|
Die Schwarzschild-Metrik ist also eine Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum . Birkhoffs Theorem besagt, die Schwarzschild-Metrik ist die einzige sphärisch-symmetrische Lösung der Einstein-Gleichung. |
Der Lichtkegel
  |
 
|
|
Diese Singularität ist nur eine Eigenschaft der gewählten sphärischen Koordinaten, mit der die Metrik ausformuliert ist, und nicht eine der Schwarzschild-Raumzeit. |
|
Die skalare, koordinatenunabhängige Größe (Kretschmann-Skalar) zeigt hinreichend, dass hier für r=0 eine Singularität vorhanden ist, die der Schwarzschild-Raumzeit eigen ist. |
|
Die Schwarzschild-Raumzeit ist asymptotisch flach. |
|
Konstanten der Bewegung
Es gibt vier Killing-Vektoren, der hohen Symmetrie des Problems geschuldet, drei der sphärischen Symmetry wegen und einer für die Zeit-Translation. |
|
Der zeitartige Killing-Vektor Kμ steht für die Energieerhaltung:
|
|
Der Drehimpuls ist nach Größe und Richtung konstant, für die Größenerhaltung steht der Killing-Vektor:
|
|
|
Die nicht-relativistische Näherung
Die nicht-relativistische Näherung lässt sich wie folgt charakterisieren:
|
Die erste Forderung einer langsamen Bewegung bedeutet: |
|
τ ist der Eigenzeit-Parameter. Die geodätischen Gleichungen vereinfachen sich unter dieser Annahme: Da das Feld statisch ist, erhält man: |
|
Für die Zeitkomponente wird das zu: |
|
Es wird eine rein radiale Bewegung betrachtet. Für die r-Komponente erhält man: |
|
Zweimal angewendet, ergibt die Newton'sche Bewegungsgleichung für ein schwaches Feld: |
|
|
Die Rotverschiebung im Schwerefeld
Ein Beobachter mit der Vierer-Geschwindigkeit Uμ sei stationär (Uk=0): |
|
||
Der Beobachter misst die Frequenz ω eines Photons, welches sich entlang einer lichtartigen Bahn xμ(t) bewegt: |
|
||
Die Frequenz des Photons für den Beobachter ist: |
|
||
Die Frequenz eines Photons, das im Treppenhaus nach oben fliegt, nimmt also ab – man beobachtet eine Rotverschiebung, die mit der Potentialdifferenz einher geht, ein Effekt, der mit dem optischen Dopplereffekt nichts zu tun hat. |
|
||
Im Jahre 1960 haben die beiden Physiker Pound und Rebka diese Rotverschiebung mit Gammastrahlen nachgewiesen, die Höhendifferenz entsprach der Höhe des Gebäudes des Physikalischen Instituts in Harvard (22 Meter). |
|
Freier Fall zum Ereignis-Horizont
Ein Kosmonaut fällt auf einer radialen Bahn im freien Fall auf den Ereignis-Horizont zu: |
|
Die Vierer-Geschwindigkeit ist:
|
|
Mit erhält man aus |
|
ein Integral für die Eigenzeit, die der Kosmonaut auf seiner Flugbahn bis zum Ereignis-Horizont braucht: |
|
Hier wurde für das Vorzeichen der Quadratwurzel das negative gewählt, denn mit wachsendem τ wird r kleiner. |
|
Die Eigengeschwindigkeit des Kosmonauten am Ereignis-Horizont ist: |
|
Die Zeit, in der der Kosmonaut den Ereignis-Horizont erreicht, ist eine endliche Größe. |
|
Ein stationärer Beobachter 'verfolgt' den fallenden Kosmonauten mit seinen Augen – er verwendet die Koordinatenzeit: |
|
|
|
Das Integral divergiert – aus Sicht des Beobachters erreicht der Kosmonaut nie den Ereignis-Horizont, denn für ein konstantes Interval dτ wird das Zeitintervall dt des Beobachters immer größer je näher der Beobachter dem Ereignis-Horizont kommt. |
|
Aus Sicht des Beobachters wird der Kosmonaut immer langsamer und |
|
– wenn er dem Beobachter mit der Taschenlampe Signale schicken würde – immer »blauer«, die Wellenlänge des Lichts wird immer kürzer. |
|
Das Licht braucht auch immer länger, um den Beobachter zu erreichen. Aus der Lichtkegel-Gleichung folgt für das Photon: |
|
|
|
|
Innerhalb des Ereignis-Horizonts
Ein Ereignis-Horizont ist eine lichtartige Hyperfläche in der Raumzeit, die zwei Bereiche der Raumzeit voneinander trennt, nämlich jenen Bereich, wo jeder Weltpunkt über zeitartige Pfade mit dem Unendlichen verbunden ist, von jenem Bereich, in dem es keine zeitartige Verbindung mit dem Unendlichen gibt. Es ist der Ereignis-Horizont, der das schwarze Loch auszeichnet, er ist Folge der globalen Kausalstruktur der Raumzeit. |
|
Wegen der sphärischen Symmetrie muss solch eine Hyperfläche – wenn es denn eine gibt – durch eine Gleichung r=const zu beschreiben sein. Dader Normalenvektor zu Hyperflächen der Art r=const ist, ist der Ereignis-Horizont bestimmt durch: |
|
Beim Queren des Ereignis-Horizontes wechseln zwei Komponenten der Metrik ihr Vorzeichen, der Ereignis-Horizont selbst ist daher eine lichtartige Hyperfläche |
|
Die r-Koordinate wird innerhalb des Ereignis-Horizontes formal zum Zeitparameter. |
|
Für irgendeine zeit- oder lichtartige Weltlinie folgt dann, |
|
dass die r-Komponente der Vierer-Geschwindigkeit als einzige negative Größe nicht verschwinden kann – sich also immer ändern muß. Sie kann auch nicht das Vorzeichen wechseln. Und es gibt eine untere Grenze für die Änderungsgeschwindigkeit: |
|
Hat der Kosmonaut also den Ereignis-Horizont passiert, geht es unweigerlich nur auf die Singularität zu. Es gibt nur diesen einen Weg. |
|
Und der Sturz hinab ins schwarze Loch dauert auch nicht ewig: |
|
|
|
Die Flugdauer betrüge in einem schwarzen Loch mit 2 Millionen Sonnenmassen höchstens gerade einmal 31 Sekunden. |
|
Diese Einbahnstraße hinein ins schwarze Loch gilt für alle Teilchen, die sich innerhalb des Ereignis-Horizontes befinden. Das schwarze Loch ist nach außen nicht sichtbar, eben schwarz. |
|
Kruskal-Koordinaten
Es gibt einen Satz Koordinaten, die Kruskal-Koordinaten , in dem die resultierende Metrik die gesamte Schwarzschild-Raumzeit 'elegant' darstellt. |
|||
Potential mit |
|
||
Regge-Wheeler -Schildkröten-Koordinate (Lichtkegel-Koordinaten) |
|
||
|
|
||
|
|||
|
|||
Wertebereich |
|
||
|
|||
Kruskal-Koordinaten |
|
||
Wertebereich |
|
||
|
|||
Ausgangskoordinaten r, t |
|
||
Die radialen Lichtkegel verlaufen in einem konstanten Winkel von +/- 90°: |
|
||
Der Ereignis-Horizont ist gegeben durch: Das sind zwei Geraden durch den Nulllpunkt. Der Ereignis-Horizont ist nicht mit einer Singularität verhnüpft. |
|
||
Die Hyperflächen r=const sind gegeben durch: |
|
||
Die Hyperflächen t=const sind gegeben durch: |
|
||
Für wird die letzte Gleichung zu: Daher stellen die Flächen ebenfalls den Ereignis-Horizont dar. |
|
||
Der SciLab-Quellcode der Transformationen - als pdf-Datei zum Anschauen |
Kruskal-Diagramm für die Schwarzschild-Raumzeit
Die Schwarzschild-Raumzeit wird in einem T-R-Diagramm dargestellt. Jeder Punkt in dem Diagramm steht für eine zweidimensionale Sphäre mit dem Radius r. Die Punkte »nördlich« und »südlich« der schwarzen Hyperbeln (r = 0) und die Hyperbeln selbst gehören nicht zur Raumzeit. Die in die Zukunft gerichtete Lichtkegel öffnen sich überall nach »Norden« mit dem festen Winkel 90°. Die beiden roten Geraden bilden den Ereignis-Horizont, sie teilen die Schwarzschild-Raumzeit in vier Bereiche ein. Der Bereich I ist der bekannte Heimat-Bereich des Kosmonauten mit (r > 2 GM). In die Zukunft gerichtete zeit- oder lichtartige Weltlinien führen aus dem Bereich I in den Bereich II, dem Innenbereich des Ereignis-Horizonts. Der Bereich II hat eine Singularität in der Zukunft . Innerhalb des Bereiches II führen alle Wege in die Singularität. Rückwärts in der Zeit gerichtete zeit- oder lichtartige Weltlinien führen aus dem Bereich I in den Bereich IV. Aus dem Bereich IV kann man also in den Bereich I gelangen – aber nicht umgekehrt. Der Bereich IV hat eine Singularität in der Vergangenheit . Aus diesem Bereich kann nur etwas herauskommen, aber nichts hinein gelangen. Die beiden Bereiche I und III sind nicht über zeit- oder lichtartige Pfade verbunden, es gibt nur eine Verbindung über raumartige Weltlinien. Niemand kann „uns“ im Bereich I aus dem Bereich III besuchen und auch umgekehrt gibt es keinen Verkehr. Die beiden Bereiche I und III sind asymptotisch flach. Die beiden Bereiche I und III sind über ein raumartiges Wurmloch (Einstein-Rosen-Brücke) verbunden. Man denke sich etwa horizontale Schnitte T=const im Kruskal-Diagram und breite die Winkelkoordinaten aus. Für gibt es keine Verbindung, mit beginnt sich ein Schlauch zu öffnen, der sich bis zum Punkt im Radius weitet, an dieser Stelle beträgt der Schlauchradius dann maximal . Der Bereich III ist eine Spiegelwelt zu Bereich I. Der Bereich IV ist eine zeitgespiegelt Welt des Bereiches I. Ein schwarzes Loch mit der Masse der Sonne hat einen Schwarzschild-Radius von knapp 1,5 km; im Zentrum der Milchstraße vermuten Astronomen ein massives schwarzes Loch mit zwei Millionen Sonnenmassen. Ein schwarzes Loch mit einem Ereignis-Horizont von einem Meter (1 m) braucht eine Masse von 6,7 104 kg, packt man diese Masse in eine Kugel mit dem Radius 10 cm, ergibt das eine Dichte von 1,6 107 kg/m3. |
Ich mache nun einen kurzen Schnitt ins Kruskal-Diagramm und schaue mir für einige konstante Kruskal-Zeiten T=const das R-Intervall [-3,3] an. |
|
|
Geht R gegen T=0+, so geht die Schwarzschild-Zeit t gegen +∞. um dann von -∞ wieder ins Endliche zu kommen. |
Die maximale Wurmloch-Öffnung wird für R=0 erreicht mit dem Schwarzschild-Radius r=2GM. |
|
|
Geht R gegen 0+, so wird die Wegstrecke kurz lichtartig. |
|
|
|
Geht R gegen T=0,5, so geht die Schwarzschild-Zeit t gegen +∞. |
Die Wurmloch-Öffnung wird kleiner. |
|
|
Geht gegen T=0,999, so geht die Schwarzschild-Zeit t gegen +∞. |
Die Wurmloch ist fast geschlossen. |
|
Anhang – Etwas Differentialgeometrie
Mannigfaltigkeit
M sei eine differentierbare m-dimensionale Mannigfaltigkeit, ausgestattet mit einem Atlas von Karten Ki und Koordinatenfunktionen φi. x sind die kartesischen Koordinaten eines Punktes p. |
|
Die Menge der reellwertigen Funktionen auf M wird genannt. |
|
Beispiel Kreis
U1 und U2 bilden eine offene Überdeckung des Kreises S1. |
|
|
|
|
|
|
|
Die Koordinatenfunktionen φ1 und φ2 sind Homeomorphismen, die Koordinatentransformationen φ12 und φ21 sind glatte Funktionen. ( φk,Uk) sind 2 Karten auf S1 und {( φk,Uk)} bildet den Atlas. |
Tangentenvektor
Der Tangentenvektor im Punkt p = γ(0) ist definiert als die Richtungsableitung einer Funktion f(γ(t)) entlang der Kurve γ an der Stelle t=0. |
|
Die Änderungsrate von f(γ(t)) entlang der Kurve ist an der Stelle t = 0 : In lokalen Koordinaten sind das die Komponenten: |
|
Man beachte die verkürzte Schreibweise: |
|
lässt sich also erhalten, indem man einen Differentialoperator X auf eine Funktion f anwendet, wobei: |
mit
|
Das heißt: Diese Gleichung definiert X[f]. |
|
Es ist die Größe, die als Tangentenvektor definiert ist - im Punkt p = γ(0) entlang der Richtung, die durch die Kurve γ(t) gegeben ist. |
Wendet man den Operator X auf die Koordinatenfunktionen an, ergibt sich: |
|
Tangentenraum
Alle Tangentenvektoren an einem Punkt p bilden einen Vektorraum, den Tangentenraum von M am Punkt p, genannt TpM. |
|
Die Basisvektoren des m-dimensionalen Tangentenraumes sind: Diese Basis wird Koordinatenbasis genannt. Die Komponenten eines Tangentenvektors bezogen auf diese Basis sind: |
|
Kotangentenraum
Da TpM eine Vektorraum ist, gibt es einen dualen Vektotraum T*pM, seine Elemente sind die linearen Abbildungen von TpM in die reellen Zahlen. |
|
Die dualen Vektoren werden Eins-Formen genannt. |
|
Das Differential df einer Funktion f ist eine Eins-Form. |
|
Die Aktion eines Vektors V auf f ist V[f] : Die Aktion von df auf einen Vektor V ist definiert durch: |
|
Drückt man df in Koordinaten aus, erhält man die Komponenten des Differential bezogen auf die Basis {dxμ} – die natürliche Koordinatenbasis für den Kotangentenraum. |
|
Die Komponenten einer beliebigen Eins-Form sind: |
|
Tensoren
Ein Tensor vom Typ (q,r) ist eine multilineare Größe, die q Elemente des Kotangentenraumes und r Elemente des Tangentenraumes auf reelle Zahlen abbildet. Wird jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Tensor zugeordnet, erhält man ein Tensorfeld. |
|
Pseudo-Riemannsche Metrik
Ein Tensorfeld g vom Typ (0,2) ist eine Pseudo-Riemannsche Metrik, wenn für jeden Punkt p der Mannigfaltigkeit gilt: |
|
Inneres Produkt
Mittels der Metrik lässt sich ein inneres Produkt für zwei Vektoren definieren: |
|
Die Metrik definiert eine lineare Abbildung , diese lässt sich als Eins-Form auffassen: |
|
Entsprechend induziert eine Eins-Form einen Vektor: |
|
Mittels der Metrik g lässt sich also ein Isomorphismus zwischen und herstellen. |
|
In der Koordinatenbasis hat der metrische Tensor die Komponenten: wie wird traditionsgemäß als Matrix aufgefasst, p wird meist weggelassen. |
|
Der Isomorphismus zwischen und kann nun über die Metrik so ausgedrückt werden: |
|
Da die Matrix symmetrisch ist, sind ihre Eigenwerte alle reell; im Falle einer Riemannschen Metrik sind alle Eigenwerte positive, im Falle einer Pseudo-Riemannschen Metrik sind i Werte positiv und j Werte (j>0) negativ, das Paar (i,j) heißt Index der Metrik. Ist j=1 heißt die Metrik Lorentz-Metrik, durch ein geeignetes Skalieren erhält man im letzteren Falle die Minkowsky-Metrik η=diag(-1, 1, …,1). |
Affine Zusammenhänge
Die Menge der Vektorfelder auf einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit M sei so bezeichnet: |
|
Definition: Ein affiner Zusammenhang sei als Abbildung wie folgt definiert: oder
mit folgenden Eigenschaften: |
|
Zusammenhangskoeffizienten
Mit der Koordinatenfunktion φ auf M ist die Koordinatenbasis des Tangentenraumes gegeben durch: |
|
Die m³ Zusammenhangskoeffizienten legen fest, wie sich die Basisvektoren des Tangentenraumes von Punkt zu Punkt ändern: |
|
Mit zwei Tangentenvektoren wird: |
|
|
|
Man beachte, das ist nicht die kovariante Ableitung einer Komponente, sondern die λ-Komponente eines Vektors ist. |
|
Parallelverschiebung
Eine Kurve γ sei gegegen, der Einfachheit halber genüge eine Karte (U, φ) zur ihrer Abdeckung. |
|
X sei ein Vektorfeld, dass zumindenst entlang γ(t) definiert sei: V sei der Tangentenvektor an γ(t): |
|
Es wird gesagt, der Vektor V sei entlang der Kurve γ(t) parallel verschoben, wenn gilt: |
|
In Komponenten ausgeschrieben ist das: |
|
Geodätische Kurven
Eine Kurve γ(t) heißt geodätische Kurve, wenn der Tangentenvektor V selbst entlang der Kurve parallel verschoben ist: |
|
In Komponenten – wenn {xμ} die Komponenten von γ(t) sind: |
|
Kovariante Ableitungen
Für eine Funktionist das die gewöhnliche Richtungsableitung. |
|
Für ein Tensorfeld gilt: |
|
Für eine Eins-Form ω gilt mit einem Vektorfeld Y: |
|
In Komponenten ist das: Und mit: |
|
Und mit: |
|
Metrische Zusammnehänge
M sei eine Mannigfaltig, ausgestattet mit einer Metrik g. Eine Metrik wird Kovariant konstant genannt, wenn gilt: Werden zwei Vektoren X und Y entlang irgendeiner Kurve parallel verschoben, so soll das innere Produkt der beiden Vektoren unter diesem Transport erhalten bleiben, also konstant sein. Sei V ein Tangentenvektor an einer Kurve, dann soll also gelten: |
|
|
|
Der affine Zusammenhang wird dann metrik-kompatibel genannt. |
Torsionstensor
Der Torsionstensor ist wie folgt definiert: |
|
|
|
T ist antisymmerisch: |
|
Der Riemannsche Krümmungstensor
Der Riemannsche Krümmungstensor ist wie folgt definiert: |
|
|
|
Diese Schreibweise ist Konvention: |
|
T ist antisymmerisch in den ersten beiden Argumenten: |
|
Der Levi_Civita-Zusammenhang
Ein affiner Zusammenhang heißt symmetrischer Zusammenhang, wenn der Torsionstensor überall verschwindet, dann gilt: |
|
Fundamentaler Satz der Riemannschen Geometrie: Auf einer Mannigfaltigkeit (M, g) gibt es genau einen symmetrischer Zusammenhang, der kompatibel mit der Metrik g ist. Dieser Zusammenhang heißt Levi-Civita-Zusammenhang. Im folgenden wird angenommen, dass die Mannigfaltigkeit (M, g) mit dem Levi-Civita-Zusammenhang ausgestattet ist. |
|
Das Christoffel-Symbol für den Levi-Civita-Zusammenhang ist: |
|
Wenn die Metrik diagonal ist, gilt: Hier ist und es wird nicht summiert! |
|
|
|
Der Riemannsche Krümmungstensor mit Levi-Civita-Zusammenhang
Die Komponenten des Riemannschen Krümmungstensors bezogen auf dem Levi-Civita-Zusammenhang sind: |
|
Die Bianchi-Identitäten
Der Krümmungstensor erfüllt die Bianchi-Identitäten 1 und 2: |
|
In Komponenten ausgeschrieben: |
|
Der Ricci-Tensor und die skalare Krümmung
Die beiden Tensoren werden über den Riemannschen Krümmungstensor mittels Indexkontraktion gewonnen. |
|
Der Ricci-Tensor ist: |
|
Die skalare Krümmung ist: |
|
Der Einstein-Tensor
Die zweite Bianchi-Identitäten ist: |
|
Zieht man die Indizes σ und μ zusammen, erhält man: |
|
Zieht man die Indizes λ und ν zusammen, erhält man: |
|
Der Einstein-Tensor ist: |
|
Und in Komponenten: |
|
Induzierte Abbildungen
Eine glatte Abbildung f zwischen zwei Mannigfaltigkeiten induziert auf natürliche Weise eine Abbildung f* zwischen den Tangentenräumen. f* wird Differentialabbildung genannt: |
|
Mit einem Vektorfeldwird nundefiniert durch: |
|
Mit zwei Karten auf M und N, den zugehörigen Koordinatenfunktionen |
|
sowie mit einem Vektorfelderhält man: |
|
Oder in Komponenten ausgeschrieben, |
|
erhält man: |
|
Mit ergibt sich ein einfacher Zusammenhang zwischen V und W über die Jacobische Matrix der Abbildung f: |
|
Eine Abbbildung f induziert eine weitere Abbildung f* ('pullback') zwischen den Kotangentenräumen, man beachte die Richtung der Abbildung: |
|
Mitund ist sie definiert durch: |
|
Mit und |
|
erhält man die Komponentendarstellung mit der Jacobi-Matrix: |
|
Beispiel – Induzierte Metrik
Die Einheitssphäre S² ist in den Punkteraum mit der Metrik g eingebettet. Auf S² sind die Koordinaten xμ gegeben, im Punkteraum die Koordinaten yα: |
|
Die Einbettung von S² wird durch die Abbildung Φ beschrieben |
|
mit der Matrix ihrer partiellen Ableitungen: |
|
Die Metrik auf S² wird durch den Rückzieher Φ* aus der Punktemetrik g gewonnen: |
|
Eine saubere Rechnung! Die induzierte Metrik auf S² ist: |
|
Symmetrien
Sei (M,g) eine (pseudo-)Riemannsche Mannigfaltigleit. Ein Diffeomorphismus f ist eine Symmetrie eines Tensors T, wenn T invariant unter der 'pullback'-Operation f* ist: |
|
Oft ist der Symmetrie eine parametrisierte Familie von Diffeomorphismen fs zugeordnet, die durch ein Vektorfeld X erzeugt wird. Dann gilt: |
Isometrien
Sei (M,g) eine (pseudo-)Riemannsche Mannigfaltigleit. Eine Abbildung f ist eine Isometrie, wenn f die Metrik erhält: |
|
Das heißt, es gilt für : |
|
Sind x und y die Komponenten von P und f(P), so erhält man in Komponenten: |
|
Killing-Vektorfelder
Sei X ein Vektorfeld auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g). Wenn eine infinitesimale Verschiebung εX eine Isometrie erzeugt, wird X ein Killing-Vektorfeld genannt. |
|
Die Koordinaten xμ eines Punktes P ändern sich unter dieser Verschiebung zu: |
|
Das Vektorfeld X und die Metrik g erfüllen dann die Killing-Gleichung, hier mit der Lie-Ableitung formuliert: |
|
Das Vektorfeld X erzeugt eine einparametrige Schar von Transformationen Φs. Die letzte Gleichung besagt dann, dass sich die lokale Geometrie nicht ändert, wenn man sich entlang Φs bewegt. |
|
Und die Killing-Gleichung mit der Levi-Civita-Verknüpfung formuliert, lautet: |
|
Seien X und Y zwei Killing-Vektorfelder und . Dann gilt: |
|
Eine lineare Kombination von zwei Killing-Vektorfelder ist wieder ein Killing-Vektorfeld, ebenso wie der Kommutator zweier Killing-Vektorfelder. Alle diese Killing-Vektorfelder formen eine Lie-Algebra der Symmetrie-Operationen auf der Mannigfaltigkeit. |
Konstanten der Bewegung
Isometrien führen zu Erhaltungsgrößen, wenn sich Probeteilchen auf der geodätischen Flugbahn xμ(τ) bewegen. |
|
|||
Die geodätische Gleichung lässt mit dem Vierer-Impuls wie folgt ausschreiben: |
|
|||
Ist nun Kμ ein Killing-Vektorfeld, |
|
|||
so gilt: |
|
|||
Und längs der geodätischen Bahn ist somit die Größe (p K) erhalten: |
|
Hodge-Dualität
Der total antisymmetrische Tensor ε ist für eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit (M,g) definiert durch: |
|
|
|
Es gilt: |
|
Der Vektorraum der m-Formenist isomorph zum Vektorraum der (n-m)-Formen. |
|
Der Hodge '*'-Operator ist eine lineare Abbildung, |
|
deren Wirkung auf einen Basisvektor vondefiniert ist durch: |
|
|
|
Für die r-Differentialformergibt sich dann: |
|
|
|
Es fasziniert mich immer wieder, *1 ist das n-dimensionale invariante Volumenelement: |
|
Die inverse Abbildung des Stern-Operators ist: Wobei κ=0 für eine Riemannsche und κ=1 für eine Lorentz-Mannigfaltigkeit ist. |
|
ist die identische Abbildung auf: |
|
Inneres Produkt von m-Formen
Für zwei r-Formen ist: |
|
|
|
Das Produkt ist symmetrisch: |
|
Das symmetrische innere Produkt der beiden m-Formen ist durch ein Integral definiert: |
|
|
Adjungierte äußere Ableitung
d ist der Operator der äußeren Ableitung: |
|
d† ist der adjungierte Operator der äußeren Ableitung: Wobei κ=1 für eine Riemannsche und κ=0 für eine Lorentz-Mannigfaltigkeit gilt. |
|
d† ist nilpotent: |
|
Sei (M,g) eine m-dimensionale kompakte orientierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand, dann gilt: |
|
Der Laplace-Operator Δ ist definiert durch: |
|
Maxwellsche Gleichungen
Das elektromagnetische Potential A ist eine 1-Form: |
|
Der elektromagnetische Feldtensor ist das Differential des Potentials A: |
|
Mit der elektrischen Ladungsdichte ρ und der elektrischen Stromdichte j wird die 1-Strom-Form j definiert: |
|
Die Maxwellschen Gleichungen sind nun: |
|
Die Lorentz-Bedingung für A ist: |
|
Aus wird dann: |
|
Lokal-triviale Faserungen
E, M, F seien differenzierbare Mannigfaltigkeiten. E ist der Totalraum, B ist die Basis oder Basisraum, F ist der Fasertyp. Die Strukturgruppe G sei eine Lie-Gruppe, die von links auf F wirkt. Das Tupel (E,π ,B; F,G) heißt differenzierbares Faserbündel, wenn gilt: |
|
Die glatte surjektive Abbildung π ist die Projektion (Fußpunktabbildung) vom Totalraum E auf die Basis: |
|
Das inverse Abbild Fp heißt Faser über p: |
|
Sei {Ui} eine offene Überdeckung von M mit Diffeomorphismen ϕi. Das Paar heißt Bündelkarte oder lokale Trivialisierung über Ui. |
|
Die Abbildungen ϕi,p sind Diffeomorphismen: |
|
Die glatten Abbildungen ϕik heißen Übergangsfunktionen , es sind Elemente der Lie-Gruppe G: |
|
Die Abbildungen ϕi und ϕk sind dann wie folgt über die Übergangsfunktionen verbunden: |
|
Zwei Elemente fi und fk von F sind wie folgt definiert: |
|
Es gilt dann der Zusammenhang: |
|
Die Übergangsfunktionen müssen die folgenden Konsistenzbedingungen (Cozyklusbedingungen) erfüllen: |
|
Gegeben seien 2 Bündelkarten: |
|
Die Übergangsfunktionen sind: |
|
Für jeden Punkt sei ein Homeomorphismus gi(p) definiert, der zu G gehört: |
|
Die Übergangsfunktionen erfüllen dann: |
|
Ein Schnitt s eines Bündels ist eine stetige Abbildung, die die Bedingung erfüllt: |
|
Es ist die Abbildung jedes Punktes der Basis in seine Faser. |
|
Die Menge aller Schnitte auf B wird mit Γ(B,F) bezeichnet. |
Lokal-triviale Faserungen - Beispiel
E, B, F seien differenzierbare Mannigfaltigkeiten. E ist der Totalraum, M ist die Basis oder Basisraum, F ist der Fasertyp. |
|
Die glatte Abbildung π ist die Projektion vom Totalraum E auf die Basis: |
|
Die Strukturgruppe G ist: |
|
U1,2 sind eine offene Überdeckung des Kreises S1 mit den beiden Trivialisierungen ϕ1 und ϕ2: |
|
Die offene Teilmenge A deckt den offenen oberen Halbkreis von S1 ab , die offene Teilmenge B den unteren Halbkreis: |
|
Auf A werden die Bündelkarten wie folgt gewählt: |
|
Die Übergangsfunktion ist die Identität: |
|
Auf B stehen für die Bündelkarten zwei Möglichkeiten zur Wahl: |
|
Fall I) Man erhält das triviale Bündel als vertikalen Zylinder. 'e' ist die identische Abbildung der Lie-Gruppe G. |
|
Fall II) Man erhält ein nicht-triviales Bündel, das Möbius-Band mit der diskreten Strukturgruppe. Hinweis: Die zyklische Gruppe Z2 ist keine Lie-Gruppe. |
|
Das eingebettete Möbius-Band
Das Möbius-Band mit dem mittleren Radius R und der halben Breite b wird in der Höhe z=0 in den R³ eingebettet: |
|
Basis M: |
|
Totalraum E: |
|
Projektion π: |
|
Fasern: |
|
|
|
|
|
|
|
So einfach kann man sich ein Möbius-Band mit einer kleinen Drehung aus einem längeren Papierstreifen basteln – die Pfeile müssen zur Deckung gebracht werden. |
|
|
Literatur
Sean Carroll |
Mikio Nakahara |
Prof. Dr. Haye Hinrichsen http://www.physik.uni-wuerzburg.de/~hinrichsen/teaching/Skripte/art.pdf |
Sanjeev S. Seahra
http://www.math.unb.ca/~seahra/resources/notes/black_holes.pdf |
Ein hervorragendes Papier zum Thema, präzise, umfassend – es macht eigentlich alle übrigen Ausführungen überflüssig. |
|
||
© 2014 Bernd Ragutt
Alle Rechte vorbehalten |
letzte Änderung: 13. August 2015 Kruschtkiste |
|
|