Das Foucault'sche Pendel

• Inhalt

• ---

• Die Newton'sche Bewegungsgleichung
• Das Pendel in sphärischen Koordinaten
• Das Pendel ohne Erdrotation
• Das Pendel mit Erdrotation
• Das Pendel am Äquator
• Das Pendel am Pol
• Was kann man glauben?

Ein Pendel der Länge l und der Masse m schwingt im Schwerefeld der Erde.

Das kartesische, mitrotierende Koordinatensystem {e_i} befestige ich im Aufhängepunkt des Pen­dels. Die Masse m hat die Koordinaten xⁱ (oder auch x,y,z).

Die Newton'sche Bewegungsgleichung
im rotierenden Bezugssystem mit den Wirk- und Schein­kräf­ten K_W und K_S muss hier noch eine zusätzliche Zwangs­be­din­gung er­fül­len, denn die Pendelmasse kann sich nur auf einer Kugel mit dem Radius l bewegen.

Diese Bedingung wird durch eine Zwangskraft K_Z, die senk­recht auf der Kugeloberfläche steht, in der Be­we­gungs­glei­chung be­rück­sich­tigt. λ ist der sogenannte La­gran­ge-Mul­ti­pli­ka­tor, er muss besstimmt werden.

Hinweis: Hier ist mir ein Lapsus passiert, der Vektor der Scheinkräfte K_S muss ein negatives Vor­zeichen tragen. Da bei den Betrachtungen auf dieser Seite nur die Corioliskraft als Schein­kraft auftritt, muss im folgenden Text überall ω durch -ω ersetzt werden, ansonsten würde die Ab­lenkung durch die Corioliskraft (nur) in die falsche Richtung erfolgen, auf der Nord­halb­ku­gel dann nicht nach Osten sondern nach Westen.

Multipliziert man die Bewegungsgleichung mit x, so erhält man den Lagrange-Mul­ti­pli­ka­tor zu:

Was hier passiert? Durch die Zwangskraft werden die ra­dia­len Komponenten der Kräfte ersetzt durch eine eben­falls radiale Kraft, die die Pendelmasse auf der Ku­gel­ober­flä­che hält.

Ich vereinfache das Problem: Die Erde habe ei­ne Ku­gel­ge­stalt, die Gravi­tations­be­schleu­ni­gung sei konstant und ich lasse nur die Co­rio­lis­kraft wirken. (Die Zen­tri­fu­gal­kraft kann an der Erdoberfläche vernachlässigt wer­den.)

In einem ENU-Bezugssysystem auf Höhe der Breite ϑ sind dann die Beschleunigungen:

Der konstante Vektor ω be­schreibt die Erd­ro­ta­tion in Richtung und Win­kel­geschwindigkeit.

Es lässt sich der Energieerhaltungssatz mit den gegebenen Voraussetzungen ableiten:

Versucht man nun, diese Differentialgleichung mit dem SciLab-Integrator mit Brachialgewalt zu lösen, ergibt sich in der Tat eine Schwingungsbewegung, in meinem Beispiel liegt der Radius der Pendelbewegung in der Tat nahezu konstant bei 30 Meter und nimmt dann aber langsam mit der An­zahl der Integrationsschritte ab:

Auch die Bedingung , dass nämlich der Ge­schwin­dig­keits­vek­tor tangential an der Ku­gel­öber­flä­che liegt, ist – naja zunächst – er­füllt (Werte rechts):

Der Azimuthwinkel scheint langsam zu wach­sen, es zeigen sich aber häßliche Aus­rei­ßer – ein deutlicher Hinweis, dass der In­te­gra­tion nicht ganz zu trauen ist (Grafik unten):

+0.0009255

-0.0000099

-0.0000077

+0.1567990

+0.0481313

+0.0376043

FoucaultPendel.pdf

FoucaultPendel.sce.txt

Ich führe im ENU-Bezugssystem {i=1,2,3} an der Breite ϑ sphä­ri­sche Koordinaten {χ, γ, r} ein. Die vertikale 3-Achse zeigt zum Zenit, der Winkel γ (gamma) ist der Aus­lenk­win­kel des Pendels ge­gen­über der Vertikalen ent­ge­gen dem Uhr­zei­ger­sinn, der Winkel χ (chi) ist der Azi­muth­win­kel.

Die Radialkomponenten sind nur der Vollständigkeit halber aufgenommen – sie werden ja durch die Zwangskraft kom­pen­siert.

Die Bewegungsgleichungen sind:

Der Energiesatz ist:

Der Drehimpuls ist:

Das Drehmoment ist:

Anmerkung: Eine Parametertransformation des Azimuthwinkels, die die Drehung der Pendel­ebene be­rück­sich­ti­gen sollte, blieb ohne Erfolg. Am Pol sah das Bild etwas anders aus, aber bei der Breite 89° stieg der Integrator aus.

Die Bewegungsgleichungen mit ω=0 sind:

Die Azimuthgeschwindigkeit ist also am größ­ten, wenn das Pendel durch die Mi­ni­mum­la­ge schwingt.

Die Lagrangefunktion L_G=T-V ist:

χ ist eine zyklische Variable.

=>

Die Energie E=T+V bleibt erhalten:

Breite 52°

Pendellänge 67 m Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s Zeitintervall 64 s

Breite 52°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Sobald ist, gibt es sozusagen eine Phasensprung, die Phasendiagramme bekommen ein gänzlich anderes Gesicht.

Breite 52°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Breite 52°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 640 s

Die Gesamtenergie bleibt über die Integrationszeit hinreichend konstant.

(Maximalwert: -14084,516; Minimalwert: -14084,598)

Die Änderungen bei der Gesamtenergie betreffen die sechste Stelle – und das ist gerade die Grö­ßenordnung des Co­rio­lis­ef­fek­tes.

Breite 52°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Breite 52°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Man beachte die ganz unterschiedlichen Skalen der Achsen! Das Pendel schwingt anfänglich in der Ebene x=0.

Breite 52°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Man beachte die ganz unterschiedlichen Skalen der Achsen! Das Pendel schwingt anfänglich in der xz-Ebene (y=0).

Pendel3d_Coriolis2.pdf

Pendel3d_Coriolis2.sce.txt

Die Bewegungsgleichungen am Äquator sind:

Die Komponenten der Coriolisbeschleunigung am Äquator sind:

Breite 0°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Es gibt eine leichte Asymmetrie ins Positive

Breite 0°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Breite 0°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Gibt man der Pendelmasse eine Anfangsgeschwindigkeit auf dem Weg, so verschwinden die Spit­zen, die Unstetigkeiten.

Breite 0°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Das Pendel schwingt anfänglich in der xz-Ebene und bleibt auch in dieser Ebene, denn die Co­rio­lis­be­schleu­ni­gung verschwindet (sinχ=0).

Die Bewegungsgleichungen am Pol sind:

Daraus lässt sich eine Konstante der Be­we­gung ableiten, die numerisch Werte der Grö­ßen­ord­nung 10^-5 (für ) mit Werten der Grö­ßen­ord­nung 1 in Beziehung setzt:

Der Azimuthalbewegung ist also eine Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit +ω überlagert.

Die Komponenten der Coriolisbeschleunigung am Pol sind:

Breite 90°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Am Pol ist die Coriolisbeschleunigung drei Mal größer als am Äquator, ihr Verlauf zeigt auch keine Substrukturen.

Ein lineare Fit ergibt: Über alle Perioden gibt es einen sehr kleinen, negativen Be­schleu­ni­gungs­wert für χ.

y = -0,000.006.8 – 2,293D-09 *x

Der lineare Fit kommt als grüne Gerade daher:

x meint die Zeit und y den Winkelwert in Ra­dian. Über alle Perioden gibt es einen sehr klei­nen, positiven Be­schleu­ni­gungs­wert für Gam­ma.

y = 0,000.002.6 – 1,006D-09 * x

Breite 90°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Breite 90°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 640 s

Die Hälfte der berechneten Azimuthwerte lag knapp unter -90° - weshalb habe ich (noch) nicht analysiert. Die negativen Werte und positive Ausreißer, die kleiner als 87° waren, habe ich auf den Wert 37° gesetzt.

Am Pol dreht sich die Pendelebene in 10 Minuten genau um 2,5°. Die Grafik gibt diese Tendenz qualtitativ richtig wider, von einer numerischen Lösung kann aber keine Rede sein.

Breite 90°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

t0=0 tend=64 steps=641

Breite 90°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

t0=0 tend=64 steps=643

Die berechneten Werte der Gammakomponenter der Coriolisbeschleunigung verändern sich 'dra­ma­tisch', wenn die Anzahl der Integrationsschritte etwas verändert wird.

Die Differentialgleichugen weisen Pole für γ=0 auf.

Ist der gewählte Anfangswert nun 'klein' und/oder die auslenkende Kraft ist wie in unserem Fal­le ebenfalls klein, so muss man mit numerischen Problemen beim Lösen der Dif­fe­ren­ti­al­glei­chun­gen im Umfeld γ≈0 rechnen, etwa weil die wirk­same Kraft zu Änderungen führt, die nur in der Größenordnung der Ungenauigkeit des numerischen Verfahrens liegen.

Erst wenn 'hinreichend' groß ist, wird man 'unbesehen' dem Ergenis vertrauen können.

Breite 90°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

t0=0 tend=64 steps=643

Breite 90°

Pendellänge 67 m

Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Wenn die Pendelmasse 'unten durch' schwingt und ihre Ge­schwin­dig­keit am größten ist, macht der berechnete Wert des Azi­muth­win­kels einen Sprung um rund 180° (Wer­te in Grad):

+89,938676

+89,906791

+89,827168

+89,285631

-89,599653

-89,832348

-89,889528

Die Änderungsgeschwindigkeit des Aus­len­kungs­win­kels γ macht ebenfalls Sprünge (Wer­te in Grad/s) und die sind wohl ur­säch­lich:

-14,933621

-14,974019

-14,991439

+14,988929

+14,963899

+14,916739

Die Bewegungsgleichungen am Pol sind:

Rotiert die Erde nicht, verschwindet (!) der harte Sprung. Schön. Ansonsten haben die Werte die gleiche Größenordnung.

Breite 90°

Pendellänge 67 m

>Pendelmasse 28 kg

Periodenzeit 16,4 s

Zeitintervall 64 s

Das Pendel schwingt nun mit einem Anfangswert . Der Verlauf bleibt so, auch wenn die Ro­ta­tions­ge­schwin­dig­keit der Erde auf Null gesetzt wird.