Kleiner Exkurs in die Ballistik





 

Der SciLab-Quellcode

Zwei Pfade sind anzupassen!

Etwas Geometrie

Die Ellipse


Ellipsenparameter


Die geodätische Breite oder auch geografische Breite ist durch den Winkel Θ gegeben. Das mag überraschen, aber der Seemann am Punkt P bestimmt seine Position unter anderem, indem er die Höhe des Polarstern über 'seinen' Horizonz misst – und dieser Horizont ist hier durch die Tan­gente an den Punkt P gegeben.


Die Bestimungsstücke der Ellipse sind die bei­den Halbachsen.

a > b


Als Hilfsgrößen werden die Exzentrizität e und ε eingeführt.

Einige einfache Zusammenhänge für die Hilfs­grö­ßen sind




Das oblate Ellipsoid


Für die Halbachsen a und b gilt a>b. Ist das El­lip­so­id ro­ta­tions­sym­me­trisch um die z-Ach­se, so erfüllen die kar­te­si­schen Ko­or­di­na­ten die Gleichung:

 


Die Parametrisierung in sphärischen Po­lar­ko­or­di­na­ten ist:




Der Erdradius – bezogen auf die geodätische Brei­te - ist angenähert :




Eigenschaften der Erde

Die Erdgestalt


Das WGS-84 Ellipsoid
a und b sind die Längen der Halbachsen. ω ist die Ro­ta­ti­ons­ge­schwin­dig­keit der Erde um die Nord-Süd-Achse. Der Erd­ra­dius nimmt also nach Norden um gut 21 km ab, das sind 0,34%.

a   = 6378137,0 m
b   = 6356752,314 m
a-b = 21384,686 m
ε   = 3,352811E-03
e   = 8,181919E-02
e2  = 3,358431E-03
ω   = 7,292115E-05 rad/s


Differenz von geozentrischer und geodätischer Breite

Fehler durch die Näherung der geozentrischen Beite

Erdradius als Funktion der geodätischen Breite



Die Koordinatensysteme

Das geozentrische Inertialsystem


Das Newtonsche Gesetz ist in einem Iner­ti­al­sys­tem gültig.

Solch ein rechtshändiges ruhendes Ko­or­di­na­ten­sy­stem ist mittels kar­te­si­scher Ko­or­di­na­ten wie folgt definiert:



Das Koordinatensystem ist im Erdmittelpunkt Me befestigt, die x- und y-Achsen liegen in der Äqua­torialsebene, zu einem bestimmten Zeit­punkt (hier t=0) zeigt die x-Achse in Richtung des Null­meridians, die z-Achse zeigt nach Norden und markiert die Erd­ro­ta­ti­ons­ach­se.

Ein Punkt P hat die kartesischen Koordinaten und die sphärischen Polarkoordinaten .




Das geozentrische mitrotierende Bezugssystem


Ein fest an die Erde gebundenes, mit­ro­tie­ren­des rechtshändiges, Ko­or­di­na­ten­sy­stem Kf (f steht für fixiert) ist wie folgt definiert:

X(i) sind die kartesischen Koordinaten eines Pun­ktes.


Das Koordinatensystem ist im Erdmittelpunkt Me befestigt, die X1- und X2-Achsen liegen in der Äquatorialsebene, die X1-Achse zeigt in Rich­tung des Nullmeridians, die X3-Achse zeigt nach Nor­den und markiert die Erdrotationsachse.


Die beiden Koordinatensysteme und K sind über eine Ro­ta­ti­on um die z-Achse mit dem Winkel ωt wie folgt verknüpft:

Die Matrix D3(ωt beschreibt eine Drehung ge­gen den Uhr­zei­ger­sinn um die z-Achse mit dem Win­kel ωt.






Das ENU-Beobachter-Koordinatensystem


Das sphärische Koordinatensystem des Be­ob­ach­ters KB ist wie folgt definiert:

Es ist am Standort PB B, ϑB, hB) des Be­ob­ach­ters befestigt, die x1- und x2-Achsen lie­gen in der Tangentialebene einer Kugel, die x1-Achse (East) zeigt nach Osten, die x2-Ach­se (North) zeigt nach Norden, die x3-Ach­se (Up) zeigt in Rich­tung Zenit (also weg vom Erd­mit­tel­punkt).


Die Matrix Di(α) ist eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um die i-Achse mit dem Winkel α.



Das Koordinatensystem des Beobachters KB ist mit den geo­zen­trischen Ko­or­di­na­ten­sy­ste­men und Kf mit einer Trans­lat­ion und einer orthogonalen Drehung wie folgt verknüpft:

Die orthogonale Matrix P permutiert die Ko­or­di­na­ten­ach­sen, es ist eine Drehung um die Ach­se (1,1,1).


 



 




 


Das rechtshändige Dreibein im Punkt P(ϑ,φ) für eine Erdkugel ist:

Die Koordinaten beziehen sich auf das geo­zen­tri­sche, mit­ro­tie­ren­de Ko­or­di­na­ten­sy­stem Kf.

Der Vektor e1 zeigt nach Osten; der Vektor e2 zeigt nach Norden.

Der Vektor e3 zeigt in Richtung der Erdachse.







Das DCU-Flugkörper-Koordinatensystem


Das Flugkörpersystem KFK wird so gewählt, dass seine Ko­or­di­na­ten zur Beschreibung ei­ner ballistischen Flugbahn 'bes­tens' ge­eig­net sind – und eine ballistische Flugbahn liegt »mit klei­nen Ab­wei­chun­gen« in einer Ebene, der Flug­bahn­ebe­ne.

Das rechtshändige Koordinatensystem KFK des ballistischen ist wie folgt definiert:


Es ist in einem gewählten Punkt PO in der anfänglichen Flugbahnebene befestigt, die beiden Vek­toren d1 und d2 liegen in der Tan­gen­ti­al­ebe­ne, e1 liegt in der Flugbahnebene und zeigt in Flug­rich­tung, d2 steht senkrecht auf der Flubahnebene< d3 zeigt in Richtung der Erd­ach­se.

hO ist die Höhe des Flugbahnpunktes über NN.

'DCU' steht für 'Down-range', 'Cross-plane', 'Up'.




Das Beobachtersystem und das Flugkörpersystem sind durch eine Translation und eine ein­fa­che Rotation um die d3-Achse mit dem Winkel ΘBO verknüpft, diese Rotation dreht e1 (East) in die Flugbahn-Ebene.





Für meine Zwecke ergibt sich der Winkel ΩBO ein­fach aus der (als bekannt vorausgesetzten) Ab­schuss­ge­schwin­dig­keit v0 des Flug­kör­pers:

v0(i) sind seine Komponenten im Be­ob­ach­ter­sy­stem (ENU).




Eigenschaften der Erde

Die Schwerkraftbeschleunigung


Ein Körper mit der Masse m erfährt im Schwe­re­feld der Erde am Ort P eine negative Be­schleu­ni­gung senkrecht zur Tan­gen­ti­al­ebe­ne an der Erdoberfläche. Hier wird die Nä­he­rung verwendet, dass die Schwerkraft ra­di­al zum Erdmittelpunkt wirkt:

Die Gravitationskonstante ist ortsabhängig.


Die Schwerkraft, die im Experiment gemesssen wird, ist die Resultierende aus der Gra­vi­ta­tions­kraft, die aufgrund der Erdanziehung auf den Körper einwirkt, und aus der ihr ent­ge­gen­ge­setz­ten Zentrifugalkraft, die aufgrund der Erdrotation auf den Körper einwirkt.

Der nicht-inertiale Schwerebeschleunigungvektor bG schließt hier die die gesamte Be­schleu­ni­gung in radialer Richtung ein.


Der Beobachterstandort PB hat die geodätische Breite θB und die Höhe hB über NN. g45 ist die Erd­be­schleu­ni­gung an der Breite 45°. Die Erdbescheunigung am Beobachtungsstandort gB ist dann in einem universellen Modell:



Erdbeschleunigung für die geodätische Breite 45°


In 10 Kilometer Höhe hat die Schwerebeschleunigung um 0,31% abgenommen.

Erdbeschleunigung abhängig von der Breite für die Höhe 1 km


Auf dem Weg zum Nordpol nimmt die Schwerebeschleunigung um 0,53 % zu, entsprehend wie der Erdradius kürzer wird.


Erdbeschleunigung in einem Streifen um die Breite 45°


In einem Streifen von 2° um die Breite von 45° nimmt die Erdbeschleunugung um 0,018% ab. Dieser Streifen hat eine Breite von rund 225 km. Über solche Entfernungen kann die Erd­be­schleu­ni­gung als konstant in der Breite angenommen werden.




Die Schallgeschwindigkeit


Die Schallgeschwindigkeit in der Höhe h über NN ist in einem uni­ver­sel­len Modell:


Die Schallgeschwindigkeit in der Höhe h über NN ist in einem universellen Modell:


Schallgeschwindigkeit abhängig von der Höhe




Die Luftdichte


Die Dichte der Luft in der Höhe h über NN ist in einem uni­ver­sel­len Modell:

ρ0 ist die Luftdichte bezogen auf NN, Ha ist ein Skalenfaktor.


Luftdichte abhängig von der Höhe


In 10 km Höhe hat die Luftdichte um ein Drittel abgenommen.




Die Scheinkräfte


Dreht sich ein Körper, also die Erde, mit der kon­stanten Win­kel­ge­schwin­dig­keit ω um die z-Achse, so hängen die Ko­or­di­na­ten im Iner­tialsystem Ki mit denen im mit­be­weg­ten Ko­or­di­na­ten­sy­stem X(i) wie folgt zusammen:


Ein Punkt P ruhe im mitbewegten System Kf. Mit einer kleinen (in­fi­ni­ti­se­ma­len) Zeit­än­de­rung δt erhält man die Änderungen der Kom­po­nen­ten des Punktes - also die Ge­schwin­dig­keits­kom­po­nen­ten - im Inertialsystem:


Betrachtet man eine allgemeine Rotation mit den drei Win­kel­ge­schwin­dig­kei­ten ω(j) jeweils um die j-Achse, so verallgemeinern sich Än­de­run­gen der Komponenten des Punktes zu:

εijk ist das vollständig antisymmetrische Levi-Civita-Symbol.


Hat der Punkt P noch eine nicht weiter ein­ge­schränk­te Ei­gen­be­we­gung relativ zum mit­be­weg­ten System, so ergibt sich:


Führt man den axialen Rotationvektor ω und das Vektorprodukt ein, so lassen sich die Kom­po­nen­ten­glei­chun­gen vektoriell zu­sam­men­fas­sen:

Die Variation des Ortes eines Punktes in der Zeit definiert den iner­tia­len Ge­schwin­dig­keits­vek­tor v:


Die Variation der Geschwindigkeits eines Punk­tes in der Zeit de­fi­niert den inertialen Be­schleu­ni­gungs­vek­tor b:



Das ergibt die Coriolisbeschleunigung bC und die Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gung bZ:




Die Coriolisbeschleunigung


Ein Punkt P habe in einem beliebigen mitbewegten lokalen Bezugssystem, das im Punkt PB be­fes­tigt ist, bezogen auf eine Basis ei die Ko­or­di­na­ten xi, dann gilt :


Die Corioliskraft wirkt senkrecht zum Ge­schwin­dig­keits­vek­tor und senkrecht zur Ro­ta­tions­ach­se und führt zu einer trans­ver­sa­len Bewegung.


Fliegt ein Körper mit 300 m/s, so ergibt sich als Maximalwert eine Coriolisbeschleunigung von bC = 0,022 m/s², das sind 0,22% der Gra­vi­ta­tions­be­schleu­ni­gung. Sie hat aber eine andere Wir­kung als die Gravitationsbeschleunigung.


Im Beobachtersystem KB (ENU) erhält man für die Co­rio­lis­be­schleu­ni­gung:


Am Nordpol ist ϑ=π/2:


Am Äquator ist ϑ=0:


Im Flugkörper-Bezugssystem KFK (DCU) er­hält man für die Co­rio­lis­be­schleu­ni­gung:


Fliegt der Flugkörper in Ostrichtung, so wirkt die Coriolisbeschleunigung in Richtung Norden, der Flugkörper wird nach Norden aus der Flugbahn-Ebene abgelenkt.


Einen sehr schönen Nachweis der Erdrotation zeigt das Foucault’sches Pendel, eines ist im deut­schen Museum zu besichtigen.

Ein Pendel scheint einfach nur in einer Ebene zu schwingen; wartet man allerdings eine Zeit, so sieht man, das die Schwingungsebene sich zu drehen scheint. Es muss daher eine (Schein-)Kraft senkrecht zur Schwingungsebene geben, die zu einem Drehmoment führt, eben die Corioliskraft – Scheinkraft deshalb, denn nicht die Schwingungsebene des Pendels dreht sich, wie es den An­schein hat, son­dern der Boden unter dem Pendel.

Man kann sich diesem Umstand gut verdeutlichen, wenn man das Pendel am Nordpol schwingen lässt: Die Erde dreht sich in 24 Stun­den einmal unter dem Pendel hinweg. Ein Beobachter aus dem Weltraum würde jedoch feststellen, dass es seine ursprüngliche Rich­tung beibehält.

„Foucault verwendete einen schweren Pendelkörper von 28 Kilogramm, der an einem 67 Meter lan­gen, dünnen Draht aufgehängt war. Das hohe Gewicht des Pen­del­körpers stabilisierte die Pen­del­be­we­gung und machte sie dadurch weniger anfällig gegen Störungen durch Luft­strö­mun­gen oder Verdrillung des Drahts. Die Länge des Pendels hingegen ermöglichte eine gro­ße Schwin­gungs­pe­rio­de (16,5 Sekunden) und lieferte einen relativ großen Pendelausschlag.

Innerhalb einer Stunde wich die Schwingungsebene um ungefähr elf Grad von der ur­sprüng­li­chen Richtung ab.“ (Antje Harder, Micro­soft Encarta 2002)


Zum Vergleich: Eine Flugbahn, berechnet einmal mit und einmal ohne die Berücksichtung der Co­rio­lis­kraft - aber noch ohne den Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gungs­term.


Mit der Corioliskraft ...

Ohne der Corioliskraft ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2406.7

Aufschlagszeit : 44.3384

Aufschlagsort DCU : 8803.8 | 16.0 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.0 | 8803.8 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2406.7

Aufschlagszeit : 44.3385

Aufschlagsort DCU : 8803.8 | 0.1 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 99.9 | 8803.8 | 0.0


Für die Flugbahn wurden folgende Parameter im ENU-Bezugssystem verwendet:



Kd=5.6E-04; ('Drag')

lambda=2.0/7.0 ; ('Lift')

Geodätische Breite=52°;

Radarstandort/Anfangsort=(100, 0, 0);

Richtwinkel(QE)=45°;

Azimuth(OM)=90°;

Anfangsgeschwindigkeit(MV)=330; [m/s]

MVx=MV*cos(QE)*cos(OM);

MVy=MV*cos(QE)*sin(OM);

MVz=MV*sin(QE));

Anfangsgeschwindigkeit=(MVx, MVy, MVz);




Die Zentripetalbeschleunigung


Ein Punkt P habe in einem beliebigen mitbewegten lokalen Bezugssystem, das im Punkt PB be­fes­tigt ist, bezogen auf eine Basis ei die Koordinaten xi, dann gilt :



Im ersten Term geht der Abstand des Nullpunkts des Bezugssystems vom Erdmittelpunkt ein, al­so im wesentlichen der Erdradius; er ist für unseren Anwendungszweck um zwei Grö­ßen­ord­nun­gen größer als der zweite Term.

Im zweiten Term geht nur der Abstand des Flugkörpers vom Nullpunkts des Bezugssystems ein. Der Term ist von der Größenordnung (ω2 |x|) ~ (10-6)2 105 m/s², wenn man den räumlichen Be­reich für den Flugkörper auf 100 km ansetzt – dieser zweite Term ist gegenüber dem ersten zu ver­näch­läs­sigen.


Der zweite Term (ω2 tMB) wirkt in radialer Rich­tung, er geht in das Schwerkraftmodell auf.


Im Beobachtersystem KB (ENU) erhält man für die Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gung, wobei die Kom­po­nen­te in radialer z-Richtung von der Gra­vi­ta­tions­be­schleu­ni­gung absorbiert wird:

Im Flugkörper-Bezugssystem (DCU) wird das für die nicht-ra­dia­len Komponenten:


Zum Vergleich: Eine Flugbahn, berechnet einmal mit und einmal ohne die Berücksichtung der Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gung.


Ohne dem Zemtripetalbeschleunigungsterm ...

Mit dem Zemtripetalbeschleunigungterm ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2406.8

Aufschlagszeit : 44.3387

Aufschlagsort DCU : 8790.1 | 15.9 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.1 | 8790.1 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2406.7

Aufschlagszeit : 44.3384

Aufschlagsort DCU : 8803.8 | 16.0 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.0 | 8803.8 | 0.0



Die wirksamen Kräfte

Die Schwerkraftskomponenten


Die Komponenten des Beschleunigungsvektor bG am Ort P des Flugkörpers ergeben sich wie folgt, wobei :

   

      

   

hP ist die Höhe des Flugkörpers über NN. PB ist der Be­ob­ach­ter­stand­ort.




Im Beobachter-Bezugssystem (ENU) ergibt sich:


Und in erster Näherung in Re für die Kom­po­nen­ten des Be­schleu­ni­gungs­vek­tors im Be­ob­ach­ter-Bezugsystem (ENU) :


De Komponenetn im Flugkörper-Be­zugs­sys­tem (DCU) sind:


Zum Vergleich: Eine Flugbahn, berechnet mit verschiedenen Gravitationskräften - aber noch ohne den Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gungs­term.


Die vollständige Variante ...

Ohne die 1/Re-Korrekturen ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2406.7

Aufschlagszeit : 44.3384

Aufschlagsort DCU : 8803.8 | 16.0 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.0 | 8803.8 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2405.9

Aufschlagszeit : 44.3169

Aufschlagsort DCU : 8804.2 | 15.8 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.2 | 8804.2 | 0.0


Die Größe der Gravitationskraft ist eine Kon­stan­te (g45) un­ab­hän­gig von der Breite ...


Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2407.2

Aufschlagszeit : 44.3437

Aufschlagsort DCU : 8808.9 | 15.8 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.2 | 8808.9 | 0.0





Der aerodynamische Luftwiderstand


Durch den Luftwiderstand wird ein Flugkörper abgebremst, er führt also zu einer negativen Be­schleu­ni­gung in Richtung des Ge­schwin­dig­keits­vek­tors. Im Bereich der Schall­ge­schwin­di­gkeit von 0,85 Mach bis 1,3 Mach treten mit steigender Geschwindigkeit Stoß­wel­len auf, die den Luft­wi­der­stand maßgeblich bestimmen.


Die durch den Luftwiderstand verursachte Be­schleu­ni­gung bR wird in einem erd­ge­bun­de­nen Koordinatensystem durch die ne­ben­ste­hen­de For­mel beschrieben:

ist der Geschwindigkeitsvektor relativ zur um­ge­ben­den Luft, kennt man also aus den Wet­ter­da­ten die Windgeschwindigkeit w in unterschiedlichen Höhen, so kann man ent­spre­chend auf korrigieren.


ρ ist die lokale Luftdichte [kg/m³], sie hängt von der Höhe ab.

Kd ist der Luftwiderstandsparameter [m²/kg]. Er hängt von der Form und der Masse des Flug­kör­pers ab. Ein einfacher Ansatz ist auf­ge­führt, wobei QFK den Flächenquerschnitt des Kör­pers mit der Masse MFK bemisst.

MS ist die Machzahl, gebildet aus Geschwindigkeit des Flugkörpers und der lokalen Schall­ge­schwin­dig­keit vS.

Cd ist der dimensionslose Luftwiderstandskoeffizient, er hängt von der Geschwindigkeit des Flug­kör­pers ab, hier über die Machzahl ein­ge­führt. Die genaue Form des Koeffizienten variiert mit dem Flugkörper – hier wird ein universelles Modell verwendet.


Im Beobachter-Bezugssystem (ENU) ergibt sich:


Im Flugkörper-Bezugssystem (DCU) ergibt sich:



„Im Bereich der Unterschallgeschwindigkeit, d. h. unter 0,85 Mach, ist die einzige at­mo­sphä­ri­sche Störung eine Turbulenz hinter dem Projektil. Im Bereich der Schall­ge­schwin­di­gkeit von 0,85 Mach bis 1,3 Mach treten mit steigender Geschwindigkeit Stoß­wel­len auf. Im unteren Teil die­ses Geschwindigkeitsbereichs entstehen Stoßwellen an allen Unebenheiten des glatten Pro­jek­til­man­tels.

Wenn die Ge­schwin­dig­keit 1 Mach übersteigt, bilden sich vorne und hinten am Pro­jek­til Stoßwellen, die sich kegelförmig vom Projektil ausbreiten. Der Winkel an der Spitze än­dert sich mit der Geschwindigkeit des Projektils. So ist bei 1 Mach die vordere Stoßwelle im We­sent­li­chen eine Ebene, bei 1,4 Mach beträgt der Winkel des Kegels ungefähr 90 Grad. Bei 2,48 Mach hat die Stoßwelle, die das Projektil nach sich zieht, an der Spitze einen Winkel von et­was weniger als 50 Grad.“ (Microsoft Encarta 2002)

Universelles Modell für den Luftreibungskoeffizienten Cd


Der Cd-Koeffizient verdreifacht sich zwar im Umfeld von Mach=1, der Einfluss auf die bal­lis­ti­sche Flugbahn – hier die maximal er­reich­te Höhe – hält sich in Grenzen.

Maximale Höhe gegen Anfangsgeschwindigkeit


Zum Vergleich: Eine Flugbahn, berechnet einmal mit und einmal ohne die Berücksichtung der Luft­rei­bung, dann mit Luftreibung und un­ter­schied­li­chen, in der Höhe konstanten Wind­ge­schwin­dig­kei­ten - aber noch ohne den Zemtripetalbeschleunigungsterm.


Mit Luftreibung ...

Ohne Luftreibung ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2406.7

Aufschlagszeit : 44.3384

Aufschlagsort DCU : 8803.8 | 16.0 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.0 | 8803.8 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2775.7

Aufschlagszeit : 47.6489

Aufschlagsort DCU : 11116.7 | 22.7 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 77.3 | 11116.7 | 0.0


Mit konstantem Wind w=( -10, -10, 0) ...

Mit konstantem Wind w=( -100, -100, 0) ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : -10.0 | -10.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2370.3

Aufschlagszeit : 43.9955

Aufschlagsort DCU : 8647.4 | 15.5 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.5 | 8647.4 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : -100.0 | -100.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 1919.3

Aufschlagszeit : 39.1737

Aufschlagsort DCU : 6607.4 | 10.4 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 89.6 | 6607.4 | 0.0


Mit konstantem Wind w=(+10, +10, 0) ...

Mit konstantem Wind w=(+100, +100, 0) ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 10.0 | 10.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2434.1

Aufschlagszeit : 44.594

Aufschlagsort DCU : 8927.0 | 16.3 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 83.7 | 8927.0 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 100.0 | 100.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2492.4

Aufschlagszeit : 45.1384

Aufschlagsort DCU : 9277.0 | 17.3 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 82.7 | 9277.0 | 0.0


Mit konstantem Wind w=( -1, -1, 0) ...

Mit konstantem Wind w=( +1, +1, 0) ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : -1.0 | -1.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2403.5

Aufschlagszeit : 44.3079

Aufschlagsort DCU : 8789.6 | 15.9 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.1 | 8789.6 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 1.0 | 1.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2409.9

Aufschlagszeit : 44.3679

Aufschlagsort DCU : 8817.6 | 16.0 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.0 | 8817.6 | 0.0




Der aerodynamische Spineffekt


Um die Fluglage zu stabilisieren, können Flugkörper in Eigenrotation um die Längsachse ver­setzt wer­den. Diese Rotation verursacht eine Kraft, die den Flugkörper nach rechts aus der Flug­bahn-Ebe­ne drückt und so zu einer transversalen Bewegung führt.


Ein einfaches, universelles Modell für diesen Spin­effekt ist:

bs ist der Beschleunigungsvektor für den Spin­ef­fekt. 'S' steht für 'Spin'. λ gibt die Größe des Ef­fek­tes an.

d2 ist der Basisvektor im Flugkörpersystem KFK (DCU). Er steht steht senkrecht auf der Flug­bahn-Ebe­ne.

ei sind die Basisvektor im Beobachtersystem KB (ENU).


Zum Vergleich: Eine Flugbahn, berechnet einmal mit und einmal ohne die Berücksichtung des Spin­ef­fek­tes - aber noch ohne den Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gungs­term.


Ohne dem Spineffekt ...

Mit dem Spineffekt ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2406.7

Aufschlagszeit : 44.3384

Aufschlagsort DCU : 8803.8 | 16.0 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.0 | 8803.8 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2406.7

Aufschlagszeit : 44.3402

Aufschlagsort DCU : 8804.3 | -240.2 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 340.2 | 8804.3 | 0.0




Die Newton'sche Bewegungsgleichung


Wirken auf einen Massepunkt der Masse m am Ort X die (Wirk-)­Kraft KW, so resultiert da­raus eine Beschleunigung b - in einem Iner­ti­al­sys­tem gilt dann:



Der Beobachter ruht auf der Erde, aus seiner Sicht, in einem mit­be­weg­ten, fixierten Be­zugs­sys­tem, treten Scheinkräfte auf – und die Be­we­gungs­glei­chung wird zu:

Aufbereitung zu Differentialgleichungen er­ster Ord­nung:

       

       

Man erhält man sechs Gleichungen in er­ster Ord­nung:

       

       






Zu den Abbildungen unten: 'Freie' Flugbahn meint: Es wirkt nur eine konstante Schwer­kraft.

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2406.7

Aufschlagszeit : 44.3384

Aufschlagsort DCU : 8803.8 | 16.0 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 84.0 | 8803.8 | 0.0


Ballistische Flugbahn (schwarz) – Freie Flugbahn (rot)



Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 45

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2409.7

Aufschlagszeit : 44.3939

Aufschlagsort DCU : 8812.8 | 28.0 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 6311.8 | 6251.4 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 0

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 2411.0

Aufschlagszeit : 44.4173

Aufschlagsort DCU : 8808.5 | 36.2 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 8908.5 | 36.2 | 0.0


Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 90

Omega (Azimuth) : 0

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 4758.6

Aufschlagszeit : 62.4134

Aufschlagsort DCU : 15.9 | 30.1 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 115.9 | 30.1 | 0.0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 990

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 0

Winddaten ENU : 0.0 | 0.0 | 0.0

===>

größte Höhe : 9869.4

Aufschlagszeit : 89.4423

Aufschlagsort DCU : 28001.0 | 164.3 | 0.0

Aufschlagsort ENU : 28101.0 | 164.3 | 0.0

Ballistische Flugbahn (schwarz) – Freie Flugbahn (rot)



© 2014 Bernd Ragutt
Alle Rechte vorbehalten
letzte Änderung: 21. Oktober 2014
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